체의 구조를 만족하는 수집합은 유리수 $\mathbb Q$, 실수 $\R$가 있지만, 우리는 이 중에서 실수 $\R$를 사용해 덧셈과 곱셈 연산을 시각화 할 것이다.

<aside> 💡 실수를 사용하는 이유 직선상에서 유리수 $\mathbb Q$ 의 원소를 순서대로 나열하는 상황을 가정해보자. 유리수는 $\pi$나 $\sqrt{2}$ 같은 무리수가 포함되어 있지 않기 때문에 직선의 어느 지점에서는 빈틈이 생기게 된다. 이러한 빈틈을 무리수로 체워 완벽한 연속성을 가지는 직선을 만들어 내는 수가 실수 $\R$다.

</aside>

위와 같이 실수를 대응시켜 표현한 직선을 수직선(Number line)이라 한다. 수를 표현하는 수직선(Number line)은 직각으로 만나는 직선을 의미하는 수직선(Perpendicular line)과 동음이의어다.

실수의 모든 요소는 상호 간에 크기를 비교할 수 있다. 더 큰 수는 오른쪽에 표시하는 규칙을 사용해 실수의 모든 원소는 수직선 상에 자신의 고유한 위치를 갖게 된다. 따라서 하나의 실수를 시각화 할 때는 그 수의 고유한 위치에 점을 찍어 표현한다. 아래와 같이 -2 보다 큰 수 2가 수직선에서 오른쪽에 위치함을 알 수 있다.

실수를 점으로 표현한다고 했을 때 앞서 체의 구조에서 살펴본 덧셈과 곱셈의 이항연산은 시각적으로 어떻게 표현되는지 생각해보자. 수직선은 0을 기준으로 양수와 음수라는 두 개의 체계가 서로 대칭되어 있는 것으로도 해석할 수 있다.

이러한 관점에서 하나의 수는 아래와 같이 원점에서부터 크기와 방향을 가진 화살표로도 표현할 수 있다.

이와 같이 수가 지니는 방향의 속성은 부호를 사용해 나타내며 크기의 속성은 원점으로부터의 거리를 의미한다. 어떤 수의 원점으로부터의 거리는 수직막대 기호를 써서 나타내는데 이를 절댓값(Absolute value) 이라고 한다.

$$ |-3| = 3 $$

우리는 시각적인 효과를 나타내기 위해 수와 연산을 사용한다.

이항연산에서 왼쪽 항의 수를 물체를 구성하는 점으로 보고, 오른쪽 항의 수를 점을 이동시키는 힘으로 보자. 그렇다면 덧셈연산은 아래와 같이 점을 평행이동 시키는 작업으로 해석할 수 있다.

예를들어 어떤 수와 -5와의 합은 수의 위치를 왼쪽으로 5칸만큼 이동시키는 작업이고, 2와의 합은 오른쪽 방향으로 2칸만큼 이동시키는 작업이다.

그리고 곱셈 연산은 원점을 기준으로 점의 위치를 지정된 배율 만큼 늘리고 대칭 시키는 작업으로 해석할 수 있다. 그리고 음수의 곱의 경우 원점으로부터 거리를 배로 늘린 후 반대쪽으로 대칭 시키는 작업으로 볼 수 있다.

지금까지 덧셈과 곱셈 연산을 수직선 상에 시각적으로 나타내는 방법에 대해 알아봤다. 사실 이항연산을 이용해 시각적으로 의미있는 효과를 부여하기에는 수직선이라는 무대가 너무나 제한적이다. 여기에서는 게임수학에서 가장 근간이 되는 수와 이항연산의 기초 개념을 이해하는 것으로 만족하자.

3장 부터는 무대를 수직선에서 평면으로 옮겨 시각적으로 의미있는 덧셈과 곱셈 연산에 대해 살펴볼 것이다.