두 집합을 $X와 Y라는$기호로 지정하고, 집합 $X$의 원소를 x, 집합$Y$의 원소를 y라고 할 때, $X$에서 $Y$로 대응되는 함수를 $y=f(x)$로 나타낸다. 두 집합의 대응 관계는 아래 그림과 같다.
두 집합의 요소가 서로 대응된다고 모두 함수로 인정받는것은 아니고, 다음 두 규칙이 성립돼야 한다.
아래 그림의 예시를 살펴보자. 집합$X$의 원소 중 3과 4는 대응 관계가 없고 원소 2는 집합 $Y$의 두 원소 (B와 C)에 대응된다. 따라서 아래 그림에서 나타난 두 집합의 대응 관계는 함수가 아니다.
왼쪽의 집합과 오른쪽의 집합이 가져야 하는 조건이 다르다 보니 함수에서 정의된 용어를 사용해 두 집합이 가진 대응 관계를 명확하게 전달하는 것을 권장한다. 함수에서 왼쪽에 위치한 첫 번째 집합을 **정의역(Domain)**이라고 하고, 오른쪽에 위치한 두 번째 집합을 공역(Codomain) 이라 한다.
함수용어를 사용해 대응 관계를 표현한다면, 정의역의 모든 원소는 공역의 원소에 대응 되어야 한다. 하지만 공역의 모든 원소가 정의역에 대응할 필요는 없다. 그렇기 때문에 정의역에 대응되는 공역의 원소만 따로모아 부분집합(Subset)을 형성할 수 있는데, 이를 **치역(Range)**이라고 부른다.
아래 그림에서 정의역, 공역, 치역의 개념과 관계를 볼 수 있다.
함수로 인정받기 위해서는 먼저 두가지 규칙이 성립해야한다.
첫째로 첫번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 존재해야한다.
둘째로 첫번째 집합의 원소는 두번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 한다.
여기서 첫번째 집합은 수학 용어로 정의역, 두번째 집합은 공역 이라고 한다.
정의역의 원소들과 대응 관계에 있는 값을의 부분집합을 치역이라고 부른다.
또 함수에서 정의역의 요소를 입력, 입력에 대응 하는 공역의 요소를 출력 이라고 한다.