함수의 대응관계를 확장해 다수 집합의 대응 관계로 발전시킬 수 있다. 2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산을 함수의 합성(Function composition)이라 한다. 아래 그림과 같이 세 집합 $X,Y,Z$ 사이에 두 함수 $f(x)와 g(y)$가 존재하는 상황을 가정해보자.

두 함수 $f(x)와 g(y)$를 연쇄적으로 이어 합성함수를 만들면, 아래 그림과 같이 중간에 위치한 집합 Y를 생략하고 집합 X와 Z의 직접적인 대응 관계를 표현할 수 있다.

이러한 합성함수는 $g \circ f$ 혹은 $g(f(x))$로 표시한다. 먼저 실행되는 함수 f가 함성함수 기호($\circ$)의 오른쪾에 놓인다는 점에 유의하자.

$$ (g \circ f)(x) $$

<aside> 💡 합성함수 $g\circ f$는 g 써클 f 로 부르는데, 대응 순서에 맞춰서 g 애프터 f 라고도 부른다.

</aside>

4개의 집합과 3개의 함수로 구성된 대응관계

이 상황에서 합성함수에 대한 경우의 수는 두가지 이다.

$(g\circ f)(w)$를 먼저 계산하는것 과, $(h\circ g)(x)$를 먼저 계산하는 것이다.

1. $(g\circ f)(w)$를 먼저 계산하는 경우

1. $(h\circ g)(x)$를 먼저 계산하는 경우

위 합성함수 결과를 확인하면 어느 순서로해도 결과는 같다.

즉, 합성함수는 결합법칙이 성립한다.