평면의 좌표(x, y)는 두 실수 x와 y를 결합해 만들어진다. 그렇기 때문에 좌표의 연산은 실수가 지니는 연산의 성질을 바탕으로 설계돼야 한다. 2.1.1 절에서 실수의 연산 성질은 체의 구조를 띤다는 사실을 확인했다.

이를 기반으로 새로운 공리를 덧붙여서 평면을 대표하는 집합을 규정하고, 해당 집합에서 이뤄지는 덧셈과 곱셈 연산 체계를 만들어야 평면에서의 움직임을 표현할 수 있다.

두개 이상의 실수를 곱집합으로 묶어 형성된 집합을 공리적 집합론의 관점에서 규정한 것을 벡터 공간(Vector space)이라고 하며, 벡터 공간의 원소를 벡터(Vector)라고 한다.

공리적 집합론의 관점에서는 특정한 수 집합을 지칭하지 않고 연산이 갖는 ㅅ어질만 다루기 때문에, 좌푯값으로 사용하는 x와 y를 실수로 규정하기 보다는 체의 구조를 지니는 집합, 즉 체 집합의 원소로 규정한다.

이렇게 체의 구조를 가지는 수 집합의 원소를 스칼라(Scalar)라고 부른다.

즉 우리가 좌표로 사용하는 실수 x와 y는 모두 공리적 집합론의 관점에서 스칼라인 것이다. 집합의 개념인 벡터 공간을 표기할 때에는 주로 대문자 $V$를 사용하고, 이의 원소인 벡터는 소문자 $\vec{v}$ 로 표기한다. 벡터는 다음과 같이 좌표와 동일한 방법으로 표기한다.

$$ \vec{v} = (x, y) $$