공리적 집합론의 관점에서 정의된 벡터 공간은 두 가지 기본 연산이 존재한다. 다음의 수식에서 사용되는 수 a, x, y는 모두 체 집합의 원소인 스칼라이다.

1. 벡터와 벡터의 덧셈 (줄여서 벡터의 합으로 부름)

$$ \vec{v_1}+\vec{v_2} = (x_1, y_1)+(x_2,y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2) $$

1. 스칼라와 벡터의 곱셈(줄여서 스칼라 곱셈이라고 부름)

$$ a\cdot\vec{v} = a\cdot(x,y)=(a\cdot x, a\cdot y) $$

체가 갖는 연산의 성질에 기반해 벡터 공간의 연산이 갖는 성질을 아래 표와같이 8가지로 정리할 수 있다. 이를 ‘벡터 공간의 공리’ 라고 한다.

벡터 공간의 공리 8가지

1. 벡터의 합의 결합법칙

$$ \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}) = (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w} $$

1. 벡터의 합의 교환법칙

$$ \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u} $$

1. 벡터의 합의 항등원

$$ \vec{v}+\vec{0}=\vec{v} $$

1. 벡터의 합의 역

$$ \vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0} $$

1. 스칼라 곱셈의 호환성

$$ a(b\vec{v})=(ab)\vec{v} $$

1. 스칼라 곱셈의 항등원

$$ 1\cdot\vec{v}=\vec{v} $$

1. 벡터의 합에 대한 분배법칙