컴퓨터가 가상 세계를 구축하는 과정을 거슬러 올라가보면, 궁극적으로는 항상 참인것으로 받아들여야 하는 수학의 명제로부터 모든것이 시작된다.
모니터 화면의 본질은 체계화된 수들이 만들어내는 질서에 불과할 뿐이다.
2장에서는 가상 세계를 지탱하는 수학적 체계를 이해하기 위한 수의 구조와 함수에 대해 살펴본다.
게임을 구성하는 가상 세계를 이해하기 위한 첫걸음은 집합이라는 개념으로 수를 이해하라는 것이다. 우리가 의무교육에서 배운 집합은 서로 구분되는 원소로 구성된 묶음을 의미한다. 이러한 집합론을 소박한 집합론(Native Set Theory) 라고 한다.
소박한 집합론의 관점에서는 용도에 따라 수집합을 정의하여 구분하는데, 대표적으로는 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수, 사원수 등이 있다.
| 분류 | 정의 | 기호 |
|---|---|---|
| 자연수 | 물건을 세거나 순서를 지정하기 위해 사용하는 수의 집합 | N |
| 정수 | 자연수와 자연수의 음수, 0을 포함하는 수의 집합 | Z |
| 유리수 | 분모가 0이 아닌 두 정수의 비율 혹은 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합 | Q |
| 무리수 | 두 정수 비 혹은 분수로 나타낼 수 없는 수의 집합 | I |
| 실수 | 유리수와 무리수를 포함하는 수의 집합 | R |
| 복소수 | 실수와 제곱하면 -1이 되는 허수 단위 i를 조합해 a+bi(a, b는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합 | C |
| 사원수 | 실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수 단위i, j, k를 조합해 a+bi+cj+dk(a, b, c, d는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합 | H |
하지만 소박한 집합론은 인간의 언어로 집합을 정의하기 때문에, 인간의 보편적인 관념에 의존할 수 밖에 없다. 예를들어 자연수를 사용해 일상 생활에서 물건을 세는데 우리는 아무 불편함이 없다.
하지만 자연수의 체계는 어떻게 구성되어 있고 집합의 특징이 무엇인지 분석하고 싶다면 물건을 센다는 개념부터 명확하게 정의해야 할 것이다.
왜냐하면 우리는 앞으로 수가 가지는 특징을 분석하고 이를 확장해 가상 공간이라는 고차원의 체계를 만들어야 하기 때문이다.
이러한 작업을 위해서는 집합의 성질을 참과 거짓으로 명확하게 구분해 줄 수 있는 명제가 필요하다. 명제 중에서 증명할 필요가 없는 기본 명제를 공리(Axiom)라고 하는데, 공리를 기반으로 대상을 구분하는 집합론을 공리적 집합론(Axiomatic Set Theory)이라고 한다.
공리적 집합론에서는 수가 가지는 연산에 대한 공리를 기반으로 수를 분류한다. 수집합이 가지고 있는 연산의 성질은 어떤 것들이 있는지 살펴보자.
수와 이항연산에 이어 가상 세계를 구축하는 데 있어서 반드시 넘어갈 기본 개념이 함수다. 함수(Function)란 두 집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소에 대응하는 관게를 의미한다.