앞서 2장에서는 점과 화살표를 사용해 수를 수직선 상에 나타내보고, 연산을 통해 수의 움직임을 표현해봤다. 하지만 수를 표현하는 무대인 수직선이라는 1차원 직선의 한계가 너무 명확하다보니 의미있는 물체의 형태를 표현하기는 어려웠다.
이번 장에서는 좁은 직선에서 벗어나 넓은 평면으로 무대를 확장할 것이다. 평면에서 시각적으로 의미 있는 물체를 생성하려면 평면을 구성하는 원소를 정의해야 하는데, 이를 벡터라고 한다.
평면에서 벡터를 움직이게 하는 기본 연산을 알아보고, 두 기본 연산을 통해 공간과 차원이 어떻게 형성되는지 살펴보자.
2장에서는 실수와 실수의 곱집합을 사용해 직선으로 표현되는 영역을 평면으로 확장해 표현할 수 있었다. 이렇게 직선의 수 집합을 수직으로 배치해 평면을 표기하는 방식을 데카르트 좌표계(Catesian coordinate system)라고 부른다. 곱집합의 원어가 데카르트 곱 (Cartesian product)임을 생각해본다면 이 둘은 동일한 개념임을 알 수 있다.
이렇게 사분면이 반시계방향으로 나뉘며, 데카르트 좌표계라고 부른다.
데카르트 좌표계의 한 원소는 곱집합과 동일하게 순서쌍으로 표현하며 좌표(Coordinate)라고 부른다.
$$ (3, 2) $$
지금까지 벡터 공간의 기본 연산을 사용해 벡터를 움직이는 방법에 대해 알아봤다. 이번에는 벡터의 기본 연산을 사용해 벡터 공간의 구조를 분석하고 이로부터 벡터공간이 가진 다양한 성질을 추출해 보겠다.
벡터에 곱하는 모든 스칼라 값이 0이면 선형 결합의 결과는 항상 영벡터가 된다. 그런데 a값이 0이 아닌 경우에도 영벡터는 나올 수 있다. 간단한 예를 들어보자.
$$ 2\cdot(1,1)+(-1)\cdot(2,2) = (0,0) $$